平成29年度 問31 化学プロセス

「反応速度は A 成分濃度の 2 乗に比例する」とあるため、反応速度式

$$\frac{dC}{dt} = -k\,C^{2}\quad(k：反応速度定数、t：時間)$$

という微分方程式が立てられます。分離変数法で分解し、\(dC/C^{2} = -k\,dt\) の形に変形して両辺を積分します。

$$-\frac{1}{C} = -k\,t + \text{定数}$$

初期条件 \(t = 0\) の時の濃度を \(C_0\) とすると、\(-1/C_0 = \text{定数}\) です。代入して

$$\frac{1}{C} = k\,t + \frac{1}{C_0}$$

50% 反応したとき \(C = C_0/2\)。1 時間後に反応率 50% であることから

$$\frac{1}{C_0/2} = k\times 1 + \frac{1}{C_0} \;\Rightarrow\; k = \frac{1}{C_0}$$

75% 反応したとき \(C = C_0/4\)。

$$\frac{1}{C_0/4} = \frac{1}{C_0}\,t + \frac{1}{C_0} \;\Rightarrow\; t = 3\ \text{時間}$$

よって反応率が 75% となるのは、反応を開始してから 3 時間後です。