平成29年度 問35 化学プロセス
バルブを介して遮断されている 2 基の密閉したタンクがある。A タンクには \(10\ \mathrm{m^{3}}\) で 1 MPa の窒素ガスが充填されており、B タンクの容量も \(10\ \mathrm{m^{3}}\) で 0.1 MPa の窒素ガスが充填されている。温度はともに 25 ℃ である。遮断しているバルブを時間をかけて開け、2 基のタンク内の圧力が均一で平衡となったときの B タンクの温度に最も近い値はどれか。ただし、窒素ガスは理想気体とし、外部からの入熱は無視する。また、定圧比熱 \(C_p\)、定容比熱 \(C_v\) として、\(C_p/C_v = 1.4\) とする。
理想気体の内部エネルギーは温度にのみ依存し、\(U = n\,C_v\,T\) で表されます。それぞれの内部エネルギーは \(U_A = n_A\,C_v\,T_A\)、\(U_B = n_B\,C_v\,T_B\) です。混合後の全内部エネルギーは \(U_{\text{total}} = (n_A + n_B)\,C_v\,T_{\text{final}}\) です。
断熱過程で外部との熱の出入りがないので、エネルギー保存則から \(U_{\text{total}} = U_A + U_B\) となります。両タンクの温度は同じであることから \(T = T_A = T_B\) として計算すると、
$$(n_A + n_B)\,C_v\,T_{\text{final}} = n_A\,C_v\,T + n_B\,C_v\,T \;\Rightarrow\; T_{\text{final}} = T$$よって、バルブを開けた後の温度は \(T_{\text{final}} = T = 25\ ^\circ\mathrm{C}\) です。
問題に \(C_p\)、\(C_v\) とありますが、液体の場合は体積変化が少ないため \(C_p/C_v\approx 1.0\) です。気体の場合、\(C_p\) においては温度上昇のみならず膨張による外部への仕事の分だけ \(C_v\) よりも大きくなります。