令和3年度 問33 化学プロセス
フェノール濃度が \(C_0 = 0.10\ \mathrm{kg\text{-}phenol/m^{3}\text{-}water}\) の水溶液が \(V = 10\ \mathrm{m^{3}}\) ある。これに活性炭 \(W = 20\ \mathrm{kg}\) を投入して、吸着平衡に達したとき、水溶液中のフェノール濃度 \(C\ [\mathrm{kg\text{-}phenol/m^{3}\text{-}water}]\) として最も近い値はどれか。吸着平衡は活性炭中のフェノール濃度を \(q^{*}\ [\mathrm{kg\text{-}phenol/kg\text{-}活性炭}]\) として、次式のフロインドリッヒ型で表せるとする。
$$q^{*} = 0.5\,C^{1/2}$$フェノール水溶液が \(10\ \mathrm{m^{3}}\) あるため、使用するフェノールの量は \(0.10\times 10 = 1\) kg です。
溶液中のフェノールの量と活性炭中のフェノールの量をそれぞれ \(x, y\) とします。物質収支を考えると、\(x + y = 1\) です。また \(q^{*} = y/20\)、\(C = x/10\) と考えることができます。
フロインドリッヒの式より、\(y/20 = 0.5\times (x/10)^{1/2}\) です。\(x + y = 1\) と \(y/20 = 0.5\times (x/10)^{1/2}\) で連立方程式を解きます。
$$\begin{aligned}y/20 &= 0.5\,(x/10)^{1/2}\\y &= 10\,(x/10)^{1/2}\\1 - x &= 10\,(x/10)^{1/2}\\(1 - x)^{2} &= 10^{2}\,(x/10)\\x^{2} - 2x + 1 &= 10x\\x^{2} - 12x + 1 &= 0\\x &= 6 \pm \sqrt{35}\quad(\text{解の公式より})\end{aligned}$$\(\sqrt{35}\) は 6 弱の値です。\(x\) も \(y\) もフェノールの量を表しており、最大 1 kg であることから、\(x = 6 - \sqrt{35}\) だと判断できます。\(\sqrt{35} \approx 5.915\) として、\(x = 6 - 5.915 = 0.085\) kg です。
水溶液中のフェノール濃度 \(C\ [\mathrm{kg\text{-}phenol/m^{3}\text{-}water}]\) ですので、\(C = 0.085\ \mathrm{kg}\,/\,10\ \mathrm{m^{3}} = 0.0085\ [\mathrm{kg\text{-}phenol/m^{3}\text{-}water}]\) となります。最も近い値は 0.0084 です。