令和6年度 問33 化学プロセス
\(u\)：流速 \([\mathrm{m/s}]\)、\(g\)：重力加速度 \(9.8\ \mathrm{m/s^{2}}\)、\(z\)：位置 \([\mathrm{m}]\)、\(p\)：圧力 \([\mathrm{Pa}]\)、\(\rho\)：流体密度 \([\mathrm{kg/m^{3}}]\)
を用いると、水の単位時間当たりの噴出量 \([\mathrm{L/分}]\) の最も近い値はどれか。
ベルヌーイの定理：$$\frac{u^{2}}{2g} + z + \frac{p}{\rho g} = \text{一定値}$$
まず、ベルヌーイの定理を用いて噴出速度を求めます。ノズルの出口と噴水の最高点で適用すると、両点で大気圧がかかることは同じなため圧力項 \(p/(\rho g)\) は無視できます。またノズル出口のポテンシャル（位置）項 \(z\) は 0、噴水最高点の速度項 \(u^{2}/(2g)\) は 0 です。よって $$\frac{u^{2}}{2\times 9.8} = 20$$と立てられ、\(u = 20\ \mathrm{m/s}\) です。この考え方により導かれる速度式はトリチェリの定理と呼ばれます。
ノズルの断面積は \((0.003)^{2}\pi/4\ \mathrm{m^{2}}\) であり、流量 \(Q\) は $$Q = 20\ \mathrm{m/s} \times \frac{(0.003)^{2}\pi}{4}\ \mathrm{m^{2}} = 1.41\times 10^{-4}\ \mathrm{m^{3}/s}$$です。回答の単位 L/min に合わせると、\(1.41\times 10^{-4}\ \mathrm{m^{3}/s} \times 60 \times 1000 = 8.49\ \mathrm{L/min}\) となり、最も近い値は 8.4 L/min です。