スケールアップ基準と回転数比 化学プロセス
翼直径 \(d_1\ [\mathrm{m}]\) の小型撹拌槽（1）から翼直径 \(d_2\ [\mathrm{m}]\) の大型撹拌槽（2）に幾何学的相似を保って、\((d_2/d_1)\) 倍にスケールアップする。この際、翼回転数 \(n_1\ [\mathrm{s^{-1}}]\) も大型撹拌槽の翼回転数 \(n_2\ [\mathrm{s^{-1}}]\) に \((n_2/n_1)\) 倍するが、その大きさはスケールアップの基準により異なる。スケールアップの基準を次の 1～5 の変数量を一定にすることとしたとき、\((n_2/n_1)\) が最も小さいのは、どの変数量を一定とした場合か。
なお、記号の意味は次のとおりである。\(n\)：翼回転数、\(d\)：翼直径、\(\mu\)：流体粘度、\(g\)：重力加速度、\(\rho\)：流体密度、\(N_p\)：動力数、\(\pi\)：円周率
大型撹拌槽での回転数 \(n_2\) が最も小さくなるのは、翼直径 \(d\) に対する累乗が大きく、翼回転数 \(n\) に対する累乗が小さい変数量です。よって撹拌レイノルズ数が該当します。
スケールアップ前を添字1、スケールアップ後を添字2として、各変数量を一定にしたときの回転数の比\(n_2/n_1\)を計算します。
1番の翼回転数を一定にすると、\(n_2 = n_1\)、\(n_2/n_1 = (d_1/d_2)^{0}\)です。
2番の撹拌レイノルズ数を一定にすると、\(\rho\,n_2\,d_2^{2}/\mu = \rho\,n_1\,d_1^{2}/\mu\)、\(n_2/n_1 = (d_1/d_2)^{2}\)となります。
3番のフルード数を一定にすると、\(n_2^{2}\,d_2/g = n_1^{2}\,d_1/g\)、\(n_2/n_1 = (d_1/d_2)^{1/2}\)です。
4番の単位容積当たりの消費動力を一定にすると、\(N_p\,\rho\,n_2^{3}\,d_2^{2} = N_p\,\rho\,n_1^{3}\,d_1^{2}\)、\(n_2/n_1 = (d_1/d_2)^{2/3}\)と求まります。
5番の翼先端速度を一定にすると、\(\pi\,n_2\,d_2 = \pi\,n_1\,d_1\)、\(n_2/n_1 = (d_1/d_2)^{1}\)です。
「単位容積当たりの消費動力」における動力数 \(N_p\) は、乱流域での \(N_p\) はほぼ一定の値を示します。明確に記載されていませんが、撹拌槽では乱流で扱うことが一般的なため今回 \(N_p\) で計算しています。