令和2年度 問30 化学プロセス
翼直径 \(d_1\ [\mathrm{m}]\) の小型撹拌槽（1）から翼直径 \(d_2\ [\mathrm{m}]\) の大型撹拌槽（2）に幾何学的相似を保って、\((d_2/d_1)\) 倍にスケールアップする。この際、翼回転数 \(n_1\ [\mathrm{s^{-1}}]\) も大型撹拌槽の翼回転数 \(n_2\ [\mathrm{s^{-1}}]\) に \((n_2/n_1)\) 倍するが、その大きさはスケールアップの基準により異なる。スケールアップの基準を次の 1～5 の変数量を一定にすることとしたとき、\((n_2/n_1)\) が最も小さいのは、どの変数量を一定とした場合か。
なお、記号の意味は次のとおりである。\(n\)：翼回転数、\(d\)：翼直径、\(\mu\)：流体粘度、\(g\)：重力加速度、\(\rho\)：流体密度、\(N_p\)：動力数、\(\pi\)：円周率
①
翼回転数：n
②
撹拌レイノルズ数：ρnd2 /µ
③
フルード数：n2 d/g
④
単位容積当たりの所要動力：N p ρn3 d2
⑤
翼先端速度：πnd
正答
② 撹拌レイノルズ数：ρnd2 /µ
大型撹拌槽での回転数 \(n_2\) が最も小さくなるのは、翼直径 \(d\) に対する累乗が大きく、翼回転数 \(n\) に対する累乗が小さい変数量です。よって撹拌レイノルズ数が該当します。
確認のため、各変数量を一定にして回転数の比 \(n_2/n_1\) を計算してみます。スケールアップ前を添字 1、スケールアップ後を添字 2 とします。
- 翼回転数：\(n_2 = n_1\)、\(n_2/n_1 = (d_2/d_1)^{0}\)
- 撹拌レイノルズ数：\(\rho\,n_2\,d_2^{2}/\mu = \rho\,n_1\,d_1^{2}/\mu\)、\(n_2/n_1 = (d_2/d_1)^{2}\)
- フルード数：\(n_2^{2}\,d_2/g = n_1^{2}\,d_1/g\)、\(n_2/n_1 = (d_2/d_1)^{1/2}\)
- 単位容積当たりの消費動力：\(N_p\,\rho\,n_2^{3}\,d_2^{2} = N_p\,\rho\,n_1^{3}\,d_1^{2}\)、\(n_2/n_1 = (d_2/d_1)^{2/3}\)
- 翼先端速度：\(\pi\,n_2\,d_2 = \pi\,n_1\,d_1\)、\(n_2/n_1 = (d_2/d_1)^{1}\)
「単位容積当たりの消費動力」における動力数 \(N_p\) は、乱流域での \(N_p\) はほぼ一定の値を示します。明確に記載されていませんが、撹拌槽では乱流で扱うことが一般的なため今回 \(N_p\) で計算しています。