平成23年度 問31 化学プロセス
深さ 1 m の容器に水が満液にしてある。容器の側面の深さ 90 cm のところに、【 ア 】直径 20 mm の孔と【 イ 】直径 10 mm の孔があいている。また、深さ 45 cm のところに、【 ウ 】直径 20 mm の孔と【 エ 】直径 10 mm の孔があいている。次の A～D の記述のうち、誤っているものの組合せはどれか。ただし、孔からの流速はトリチェリーの定理 \(u = \sqrt{2gh}\) が成り立つとする。\(u\) は流速、\(h\) は液深さ、\(g\) は重力の加速度である。
(A) 【 ア 】と【 イ 】では、ほぼ同じ流速である。
(B) 【 イ 】と【 ウ 】では、ほぼ同じ流量である。
(C) レイノルズ数が最も大きいのは、【 ア 】である。
(D) エタノールで満液にすると、どの孔でも水のときよりも流速が遅くなる。
①
A、C
②
B、D
③
A、D
④
B、C
⑤
C、D
正答
② B、D
トリチェリの定理より、液面深さが同じである【 ア 】と【 イ 】では、ほぼ同じ流速です（A 正）。
【 ウ 】よりも【 イ 】の方が液面深さは 2 倍であるため、流速は【 イ 】の方が \(\sqrt{2}\) 倍となります。ノズル直径は【 ウ 】が 2 倍大きく断面積は 4 倍。流量は流速×断面積で計算でき、【 ウ 】の方が【 イ 】よりも \(4/\sqrt{2} \approx 2.83\) 倍の流量となります（B 誤）。
| ノズル | ノズル高さ | 流速 | ノズル直径 | ノズル断面積 | 流量 |
|---|---|---|---|---|---|
| 【 ア 】 | \(2H\) | \(\sqrt{2}\,u\) | \(2D\) | \(4A\) | \(4\sqrt{2}\,uA\) |
| 【 イ 】 | \(2H\) | \(\sqrt{2}\,u\) | \(D\) | \(A\) | \(\sqrt{2}\,uA\) |
| 【 ウ 】 | \(H\) | \(u\) | \(2D\) | \(4A\) | \(4uA\) |
| 【 エ 】 | \(H\) | \(u\) | \(D\) | \(A\) | \(uA\) |
レイノルズ数 \(Re = D u \rho/\mu\) は、流速とノズル径が共に一番大きい【 ア 】が最大（C 正）。
トリチェリーの定理は液深さのみに依存し、エタノールに変更しても流速は変化しません（D 誤）。
よって誤っているのは B と D です。