令和5年度 問35 化学プロセス
酵素は生体内において触媒として働く。酵素 E と基質 S が反応して酵素－基質複合体 ES を作り、ES から生成物 P が生じると共に、E は元に戻る。
$$\mathrm{E} + \mathrm{S}\;\underset{k_2}{\overset{k_1}{\rightleftarrows}}\;\mathrm{ES}\;\xrightarrow{k_3}\;\mathrm{E} + \mathrm{P}$$この反応が定常状態であるとき、P の生成速度 \(r\) は、次の式で表される。
$$r = V_\mathrm{m}\,C_\mathrm{s}\,/\,(K_\mathrm{m} + C_\mathrm{s})$$ただし、
$$K_\mathrm{m} = (k_2 + k_3)\,/\,k_1$$$$V_\mathrm{m} = k_3\,C_{\mathrm{E}0}$$$$C_{\mathrm{E}0} = C_\mathrm{E} + C_\mathrm{ES}$$\(C_\mathrm{s}\) は基質の濃度、\(C_\mathrm{E}\) は酵素の濃度、\(C_\mathrm{ES}\) は酵素－基質複合体 ES の濃度である。ここで、\(C_\mathrm{s}\) を増やした場合の \(r\) の最大値として適切なものはどれか。
①
\(V_\mathrm{m}\,/\,K_\mathrm{m}\)
②
\(V_\mathrm{m}\,/\,C_\mathrm{s}\)
③
\(V_\mathrm{m}\,C_\mathrm{s}\)
④
\(V_\mathrm{m}\)
⑤
\(C_\mathrm{s}\,/\,K_\mathrm{m}\)
正答
④ \(V_\mathrm{m}\)
\(P\) の生成速度 \(r\) を求める式はミカエリス・メンテンの式と呼ばれます。この式を変形することで問題は考えられます。まず元の式を記載します。
$$r = \frac{V_\mathrm{m}\,C_\mathrm{s}}{K_\mathrm{m} + C_\mathrm{s}}$$この式の逆数を取ります。
$$\frac{1}{r} = \frac{K_\mathrm{m} + C_\mathrm{s}}{V_\mathrm{m}\,C_\mathrm{s}}$$\(K_\mathrm{m}\) と \(C_\mathrm{s}\) それぞれに対する分数を取る形で更に変形します。
$$\frac{1}{r} = \frac{K_\mathrm{m}}{V_\mathrm{m}}\cdot\frac{1}{C_\mathrm{s}} + \frac{1}{V_\mathrm{m}}$$この変形により \(1/C_\mathrm{s}\) と \(1/r\) に関する一次式が得られます。傾きが \(K_\mathrm{m}/V_\mathrm{m}\)、切片が \(1/V_\mathrm{m}\) です。
問題にあるように \(C_\mathrm{s}\) を増やした場合を考えると、\(1/C_\mathrm{s}\) はゼロに収束します。このときの \(1/r = 1/V_\mathrm{m}\)、つまり \(r\) の最大値は \(V_\mathrm{m}\) です。