令和元年度（再試験） 問33 化学プロセス
水 100 mol に成分 A20 mol を溶解した水溶液に、純粋なトルエン 100 mol を加え、容器の中で撹拌し、静置したところ、2 液相に分離した。上層の成分 A の量として、最も近い値はどれか。相互溶解度は非常に小さいので、相互溶解度をゼロとして算出してよい。液液平衡のデータを下表に示す。
水の比重よりトルエンの比重の方が小さいことから、上層がトルエン、下層が水となります。
今回、成分 A 濃度の異なる液液平衡データが 2 種類与えられています。それぞれで分配係数を計算してみます。希薄溶液であり、抽出により分子が変化しない場合は分配係数が同じになります。
1 行目：\(2.6/7.8 = 1/3\)
2 行目：\(5.0/15.0 = 1/3\)
分配係数が \(1/3\) ですので、各層における A のモル分率 \(x_{\text{water}}\) と \(y_{\text{tol}}\) から立式します。上層であるトルエン相の成分 A の物質量を \(n_A\) とします。使用する成分 A は 20 mol ですので、水相側の成分 A の物質量は \(20 - n_A\) です。
$$x_{\text{water}} = \frac{20 - n_A}{100 + (20 - n_A)},\quad y_{\text{tol}} = \frac{n_A}{100 + n_A}$$上記式から \(y_{\text{tol}} = \tfrac{1}{3}\,x_{\text{water}}\) を立式して \(n_A\) を求めます。
$$\frac{n_A}{100 + n_A} = \frac{1}{3}\cdot\frac{20 - n_A}{100 + (20 - n_A)}$$$$n_A^{2} - 220\,n_A + 1000 = 0$$根の公式より \(n_A = 110 \pm 10\sqrt{111}\) です。\(\sqrt{111}\approx 10.54\) とすると、\(110 \pm 10\times 10.54 = 4.6\) もしくは 215.4 mol となります。使用している成分 A は 20 mol ですので、必ず 20 mol 以下になります。よって最も近いのは 4.5 mol です。
ちなみに、分配係数から大まかに物質量を求めることも可能です。どこまで詳細に計算するのかは選択肢に応じて決めてください。
$$\frac{n_A}{20 - n_A} = \frac{1}{3}\;\Rightarrow\; n_A = 4.96\ \mathrm{mol}$$