令和元年度（再試験） 問34 化学プロセス
大気開放タンクに一定深さ \(h = 0.34\ \mathrm{m}\) で水が入っている。タンク底に長さ \(L = 1\ \mathrm{m}\)、管内径 \(D = 3\ \mathrm{mm}\) の円管を水平に接続し、大気中に水を流出させたとき、管内の平均流速 \(u\ [\mathrm{m/s}]\) として最も近い値はどれか。管入口出口間の圧力損失は、
$$\Delta P = 4f\,\frac{\rho u^{2}}{2}\cdot\frac{L}{D}$$で計算され、これがタンク底の静水圧に等しい。ただし、管摩擦係数 \(f = 0.005\)、水の密度 \(\rho = 1{,}000\ \mathrm{kg/m^{3}}\)、重力加速度 \(g = 9.8\ \mathrm{m/s^{2}}\) とする。
ベルヌーイの定理より、理想流体では位置エネルギーや圧力エネルギー、速度エネルギーの和が一定になることを利用します。つまりタンク液面部とタンク底部のエネルギーは一定であると考えられます。
ベルヌーイの定理（圧力換算）\([\mathrm{Pa}]\)：
$$\rho g z + P + \frac{\rho u^{2}}{2} = \text{一定}$$\(\rho\)：密度 \([\mathrm{kg/m^{3}}]\)、\(g\)：重力加速度 \([\mathrm{m/s^{2}}]\)、\(z\)：高さ \([\mathrm{m}]\)、\(P\)：圧力 \([\mathrm{Pa}]\)、\(u\)：速度 \([\mathrm{m/s}]\)
大気開放タンクのため圧力エネルギーは両位置においても大気圧がかかっており一定です。タンク液面部においてはタンク径が十分に大きく、タンク底から液が出るときに液面高さが変わらないとすると、速度エネルギーはゼロとみなせます。タンク底部においては高さがゼロであるため位置エネルギーがゼロとなります。よって理想流体においては、タンク液面の位置エネルギー \(\rho g h\) はタンク底部の速度エネルギー \(\rho u^{2}/2\) に全て変換されます。更にここから流れによる損失を加味して計算します。
配管内を流体が流れるとき、摩擦によるエネルギー損失が発生します。その時のエネルギー損失量を圧力で表した値が圧力損失です。問題では静水圧（タンク液面の位置エネルギー）と圧力損失が等しくなるとあります。圧力損失は問題に記載されている \(\Delta P = 4f(\rho u^{2}/2)(L/D)\) を用います。
$$\rho g h = 4f\,\frac{\rho u^{2}}{2}\cdot\frac{L}{D}\;\Rightarrow\; g h = 4f\,\frac{u^{2}}{2}\cdot\frac{L}{D}$$$$9.8\times 0.34 = 4\times 0.005\times\frac{u^{2}}{2}\times\frac{1}{0.003}$$上記方程式を解くと、管内の平均流速 \(u\) は 1.0 m/s です。