令和元年度 問33 化学プロセス
貯水池から長さ \(L = 1{,}000\ \mathrm{m}\)、管内径 \(d = 1.0\ \mathrm{m}\) のパイプを通して水を流し、水力発電機へ供給している。系の圧力変動を吸収するため下図のようにサージタンクが設けられている。基準高さからの貯水池水面高さは \(H = 50\ \mathrm{m}\) である。サージタンク水面は \(h\ [\mathrm{m}]\) の高さにあった。パイプ内の平均流速 \(u = 3.0\ \mathrm{m/s}\) のとき、\(h\) として、次のうち、最も近い値はどれか。ただし水の密度 \(\rho = 1{,}000\ \mathrm{kg/m^{3}}\)、管摩擦係数 \(f = 0.0032\)、重力加速度 \(g = 9.8\ \mathrm{m/s^{2}}\)。管内流れの圧力損失は
$$\Delta P = -\frac{2fLu^{2}\rho}{d}\ [\mathrm{Pa} = \mathrm{kg\,m^{-1}\,s^{-2}}]$$である。
まず貯水池の水からかかる位置エネルギーを求めます。\(\rho g h\)（\(\rho\)：密度、\(g\)：重力加速度、\(h\)：高さ）で [Pa] 単位の位置エネルギーが計算できます。位置エネルギーは \(1000\times 9.8\times 50 = 4.9\times 10^{5}\) Pa となります。
（単位変換参考）
\(\rho g h:\ \mathrm{kg/m^{3}}\times\mathrm{m/s^{2}}\times\mathrm{m} = \mathrm{kg/(m\cdot s^{2})}\)
\(\mathrm{Pa} = \mathrm{N/m^{2}} = (\mathrm{kg}\times\mathrm{m/s^{2}})/\mathrm{m^{2}} = \mathrm{kg/(m\cdot s^{2})}\)
配管内を流体が流れるとき、摩擦によるエネルギー損失が発生します。その時のエネルギー損失量を圧力で表した圧力損失を計算します。計算式は問題に記載されている \(\Delta P = -2fLu^{2}\rho/d\) を用います。圧力損失は \(2\times 0.0032\times 1{,}000\times 3.0^{2}\times 1{,}000/1.0 = 5.76\times 10^{4}\) Pa（\(0.576\times 10^{5}\) Pa）となります。
サージタンクに液が流れ着いたとき、圧力損失により減少した \(4.9\times 10^{5} - 0.576\times 10^{5} = 4.324\times 10^{5}\) Pa のエネルギーが発生しています。この時のエネルギーを位置エネルギーの式から高さに換算すると、\(4.324\times 10^{5}\ \mathrm{Pa}/(1{,}000\ \mathrm{kg/m^{3}}\times 9.8\ \mathrm{m/s^{2}}) = 44.12\) m です。よって最も近い値は 45 m です。