令和元年度 問34 化学プロセス
気温 \(T_2 = 29.0\ ^\circ\mathrm{C}\)、人体の体内温 \(T = 36.0\ ^\circ\mathrm{C}\) のとき、皮膚表面温度 \(T_1\ [^\circ\mathrm{C}]\) に最も近い値はどれか。ただし、皮膚と体内の間に厚さ \(\delta = 4\ \mathrm{mm}\) の温度境膜（皮膚膜）を考え、皮膚の熱伝導率 \(\lambda = 0.21\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}\) とする。また、皮膚表面空気側の伝熱係数を \(h = 8.8\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}\) とする。
①
35.0℃
②
33.0℃
③
31.5℃
④
30.0℃
⑤
29.0℃
正答
① 35.0℃
固体の熱流束はフーリエの法則 \(q = -k\,(dT/dx)\) から計算できます。皮膚と空気のように密着して連続的に伝熱する状態では、同一面積における皮膚と空気の伝熱量（熱流束）が同じとして計算できます。
フーリエの法則より、皮膚の熱流束は
$$\frac{0.21\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}\times(36.0 - T_1)\,\mathrm{K}}{0.004\,\mathrm{m}} = 1{,}890 - 52.5\,T_1\ \mathrm{W/m^{2}}$$空気の熱流束は \(8.8\times(T_1 - 29.0) = 8.8\,T_1 - 255.2\ \mathrm{W/m^{2}}\) です。
2 式で方程式を解くと \(T_1 = 35.0\ ^\circ\mathrm{C}\) と求まります。