平成27年度 問33 化学プロセス
撹拌動力 \(P\) は無次元動力数 \(N_p\) を用い \(P = N_p\,\rho\,n^{3}\,D^{5}\) と表される。ある撹拌槽において 1.5 kW のモーター付きで、120 rpm まで回転数を上げることができる撹拌機が付いている。この撹拌機の動力を 0.75 kW に替えた場合、回転数の上限に最も近い値はどれか。ただし、\(N_p\) は一定とし、\(2^{1/3} = 1.26\) とする。なお、\(\rho\)：液密度 \([\mathrm{kg/m^{3}}]\)、\(n\)：回転数 \([\mathrm{s^{-1}}]\)、\(D\)：羽径 [m] である。
①
95 rpm
②
100 rpm
③
105 rpm
④
110 rpm
⑤
115 rpm
正答
① 95 rpm
流体と撹拌槽が同じなため、\(\rho\) と \(D\) は固定値になります。\(\rho D^{5}\) を \(a\) と置きます。120 rpm を 1 秒当たりに変換すると \(120/60 = 2\ \mathrm{s^{-1}}\)。\(N_p = 1.5/(2^{3} a) \Rightarrow a = 0.1875/N_p\)。
0.75 kW の場合：\(N_p = 0.75/((0.1875/N_p)\,n^{3})\)。\(N_p\) は約分され、
$$n^{3} = 4 \;\Rightarrow\; n = (2^{2})^{1/3} = (2^{1/3})^{2} = 1.26^{2} \approx 1.59\ \mathrm{s^{-1}}$$rpm に直すと \(1.59\times 60 = 95.4\) rpm。最も近い値は 95 rpm です。