令和5年度 問30 化学プロセス
閉じたバルブにより接続された大小 2 基のタンクがある。\(100\ \mathrm{m^{3}}\) のタンク 1 には 1 MPa の気体が充填されており、\(5\ \mathrm{m^{3}}\) のタンク 2 には 100 MPa の気体が充填されている。気体は共に同じ理想気体であり、温度は共に 25 ℃ である。閉じていたバルブを開けて、2 基のタンク内の圧力を均一とした場合の圧力として、最も適切な値はどれか。
断熱膨張による温度変化は考慮せず、25 ℃ 一定とする。
また、気体の状態方程式は \(PV = nRT\) であり、\(P\) は圧力 \([\mathrm{Pa}]\)、\(V\) は容積 \([\mathrm{m^{3}}]\)、\(n\) は気体の物質量 \([\mathrm{mol}]\)、\(R\) は気体定数 \([\mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}]\)、\(T\) は気体の温度 \([\mathrm{K}]\) である。
バルブを開けたとき、全体の体積 \(V\) は \(100 + 5 = 105\ \mathrm{m^{3}}\) です。また 25 ℃ のときの絶対温度 \(T\) は \(25 + 273 = 298\ \mathrm{K}\) です。
理想気体の状態方程式 \(PV = nRT\) より、各タンク内に含まれる気体の物質量は \(n = PV/(RT)\) で求まります。バルブを開けた後は、各タンクの物質量を合計した値となります。
$$n_1 = \frac{1\times 10^{6}\times 100}{R\times 298},\quad n_2 = \frac{100\times 10^{6}\times 5}{R\times 298}$$理想気体の状態方程式より、バルブを開けた後の圧力 \(P\) は \((n_1 + n_2) RT / V\) で計算できます。MPa への変換のために \(10^{6}\) は計算せず残しておき、\(R\times 298\) は約分して消せます。
$$P = \frac{(n_1 + n_2)\,R\,T}{V} = \frac{1\times 10^{6}\times 100 + 100\times 10^{6}\times 5}{105} = \frac{600}{105}\ \mathrm{MPa} \approx 5.7\ \mathrm{MPa}$$