令和7年度 問31 化学プロセス
体積 \(V\)、濃度 \(C_0\) のフェノールの水溶液がある。これに活性炭を \(W\) だけ投入して吸着平衡に達したとき、水溶液中のフェノール濃度 \(C\) として、最も近い値はどれか。吸着平衡は活性炭中のフェノール濃度を \(q^{*}\) として、次式のフロイントリッヒ型で表せるとする。
$$q^{*} = 0.5\,C^{1/2}\quad[\mathrm{kg\text{-}phenol/kg\text{-}活性炭}]$$変数、単位と数値は以下の通りとする。
フェノール水溶液の濃度 \(C_0 = 0.10\ \mathrm{kg\text{-}phenol/m^{3}\text{-}water}\)
フェノール水溶液の体積 \(V = 10\ \mathrm{m^{3}}\)
活性炭投入量 \(W = 20\ \mathrm{kg}\)
吸着平衡時の水溶液中のフェノール濃度 \(C\ [\mathrm{kg\text{-}phenol/m^{3}\text{-}water}]\)
根の公式は次の通りである。
$$0 = ay^{2} + by + c,\quad y = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$
①
0.0008
②
0.0084
③
0.092
④
1.09
⑤
1.19
正答
② 0.0084
フェノールの物質収支を立てます。投入前のフェノール量は「液中に残る量」＋「活性炭に吸着される量」に等しいので
$$C_0 V = C V + q^{*} W$$ここに \(q^{*} = 0.5\,C^{1/2}\)、\(C_0 = 0.10\)、\(V = 10\)、\(W = 20\) を代入すると
$$0.10 \times 10 = 10\,C + 0.5\,C^{1/2} \times 20$$
$$1 = 10\,C + 10\,C^{1/2}$$
\(x = C^{1/2}\) とおくと \(10x^{2} + 10x - 1 = 0\)、すなわち
$$x^{2} + x - 0.1 = 0$$根の公式より \(x = \dfrac{-1 + \sqrt{1.4}}{2} \approx 0.092\)。したがって
$$C = x^{2} \approx 0.0084\ \mathrm{kg\text{-}phenol/m^3}$$となり、2番が正答です。