令和7年度 問30 化学プロセス
内容積 1,000 リットル、圧力 \(p = 1.00\) 気圧、温度 300 K の密閉タンクに、ジメチルエーテル（\(\mathrm{CH_3OCH_3}\)、DME）の蒸気が 6.00 vol%、空気が 94.0 vol%（酸素 19.7 vol%、窒素 74.3 vol%）入っている。この混合ガスを燃焼させて DME を完全燃焼させ、DME をすべて二酸化炭素と水に変えた。400 K に下がったときの密閉タンク内の圧力 \(p\) として、最も近い値はどれか。
燃焼前後のガスはすべて理想気体であると仮定する。必要であれば、以下の値を用いて良い。
気体定数 \(R = 0.08206\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}\)
①
1.17気圧
②
1.25気圧
③
1.33気圧
④
1.41気圧
⑤
1.49気圧
正答
④ 1.41気圧
定容（一定体積）のタンクなので、状態方程式 \(pV = nRT\) から、燃焼前後の圧力比は物質量と温度の比で決まります。
$$\frac{p_2}{p_1} = \frac{n_2 T_2}{n_1 T_1}$$初期ガスを全体で 100 mol とすると、DME が 6 mol、O2 が 19.7 mol、N2 が 74.3 mol です。完全燃焼の反応式は
$$\mathrm{CH_3OCH_3} + 3\,\mathrm{O_2} \rightarrow 2\,\mathrm{CO_2} + 3\,\mathrm{H_2O}$$DME（6 mol）は O2 を 18 mol 消費し、CO2 を 12 mol、H2O を 18 mol 生成します。O2 は 19.7 − 18 = 1.7 mol 残ります。
燃焼後の総物質量は、CO2（12）＋ H2O（18）＋ 残 O2（1.7）＋ N2（74.3）＝ 106 mol です（400 K では水も気体として扱います）。
$$p_2 = 1.00 \times \frac{106}{100} \times \frac{400}{300} \approx 1.41\ \text{気圧}$$よって4番が正答です。